International scientific e-journal

ΛΌГOΣ. ONLINE

10 (June, 2020)

e-ISSN: 2663-4139
КВ №20521-13361Р

PHYSICS AND MATHEMATICS

UDC 510.322.2, 512.552.12

DOI 10.36074/2663-4139.10.05

СУПЕРЕЧЛИВІСТЬ ТЕОРІЇ МНОЖИН ЦЕРМЕЛО-ФРЕНКЕЛЯ З АКСІОМОЮ ВИБОРУ

КОЛОС Олександр Сергійович

 

УКРАЇНА


Анотація. Шляхом побудови контрприкладу до відомого еквівалента аксіоми вибору (теореми Круля про існування максимального ідеалу) доведено суперечливість теорії множин Цермело–Френкеля з аксіомою вибору. Збудована множина ідеалів кільця, що відповідає умовам леми Цорна, але не має максимального елементу.

Ключові слова: аксіома вибору; лема Цорна; теорема Круля; теорія множин; максимальний ідеал; протиріччя.

Аксіоматична теорія множин була розроблена, щоб позбутися парадоксів, що виникали у так званій наївній теорії множин. Прикладом такого парадоксу може слугувати парадокс Рассела: у наївній теорії множин формально можна визначити множину, що містить усі такі множини, які не містять самі себе. Парадокс виникає, коли ми намагаємося визначити, чи містить така множина сама себе як елемент. У сучасній математиці найпоширенішою аксіоматичною теорією множин є теорія множин Цермело–Френкеля з аксіомою вибору (позначається ZFC).

Найбільшій критиці у ZFC піддається аксіома вибору (AC), що була сформульована Ернстом Цермело у 1904 році як “незаперечний логічний принцип”, згідно з яким для будь-якого набору множин існує функція, що вибирає з кожної множини єдиний елемент [1]. Від самого початку AC викликала бурхливу полеміку і не всі математики приймають її беззаперечно. Висловлювалася думка, що твердження, доведені із залученням цієї аксіоми, мають іншу пізнавальну цінність ніж ті, що можуть бути отримані без неї [2]. Також існують як альтернативні теорії множин (наприклад, NF теорія множин Вілларда Квайна), так і слабкіші версії AC та аксіоми, що покликані її замінити (ACω – аксіома зліченого вибору, DC – аксіома залежного вибору, AD – аксіома детермінованості, тощо).

Відомо, що деякі твердження не можуть бути доведені у ZF (теорії множин Цермело–Френкеля без AC), але легко доводяться із залученням AC. Прикладом може слугувати відома лема Цорна. Окрім леми Цорна, еквівалентними AC у ZF визнані такі твердження, як теорема Цермело (принцип цілковитого впорядкування, що для його доведення Ернст Цермело вперше сформулював AC), теорема Круля (про існування максимального ідеалу), принцип максимуму Гаусдорфа, тощо.

Найважливішою вимогою до системи аксіом є її несуперечливість, тобто неможливість довести двох тверджень, що суперечать одне одному. Нижче ми переконливо доводимо, що ZFC є суперечливою теорією множин. Проте вибір “кращої” альтернативи чи переваги “чистої” ZF не є темою цієї статті.

Аксіому вибору можна сформулювати наступним чином: для будь-якого сімейства  непорожніх множин , що не перетинаються, існує така множина , котра має рівно по одному елементу з кожної множини  цього сімейства .

Теорема 1. ZFC є суперечливою.

Схема доведення.

Для того щоб показати суперечливість ZFC, ми наведемо приклад кільця, що суперечить одному з еквівалентів AC у ZF, а саме теоремі Круля про існування максимального ідеалу у кільці з одиницею. Потім на основі нашого прикладу збудуємо частково впорядковану множину таку, що в ній для кожного ланцюга існує верхня межа, але не існує максимального елементу, тобто наведемо контрприклад до леми Цорна, не вдаючись до теорії кілець.

Наведемо деякі відомі теореми (хоча для них існують і інші еквівалентні формулювання):

Теорема 2. (Теорема Круля) Якщо кільце має ліву одиницю і – власний правий (двосторонній) ідеал , тоді в існує максимальний правий (двосторонній) ідеал , такий що .

Теорема 3. (Лема Цорна) Частково впорядкована множина, що в ній кожен ланцюг (лінійно впорядкована підмножина) має верхню межу, має в собі максимальний елемент.

Теорема 4. У системі аксіом ZF теорема 2, теорема 3 та аксіома вибору є еквівалентними.

Доведення цих теорем вважаємо широковідомими і не будемо їх повторювати. Для теореми 2 див. [3]; для теореми 3 та “теорема 3  AC” див. [2]; для “теорема 2  теорема 3” див. [4].

Приклад кільця, що суперечить теоремі Круля.

Нехай  – множина усіх підмножин множини  – множина усіх підмножин відрізка . – симетрична різниця множин, . - операція перетину.

Тоді  комутативне кільце з одиницею.   нейтральний елемент щодо додавання, відрізок нейтральний елемент щодо множення. Для виконується , тож кожен елемент є єдиним оберненим сам до себе стосовно додавання.

Зазначимо деякі властивості ідеалів цього кільця та – множини усіх підмножин деякої множини . Нехай – деякий ідеал кільця . З означення ідеалу та з того, що , маємо наступне:

З вищевказаного зокрема випливає, що  є ідеалом кільця .

Розглянемо функцію

Очевидно, що для .

Нехай – ідеал в . Розглянемо множину .

Позначимо

З (1.1-1.4) видно, що , тоді

Позначимо

Очевидно, що . Тому

 

Але  та , тому:

З (2.1) та (2.2) маємо, що для з того що – ідеал випливає, що також є ідеалом.

Введемо ще одну функцію:

Доведемо наступне твердження.

Теорема 5. Якщо – максимальний ідеал кільця , тоді для деякого .

Доведення.

Нехай – деякий максимальний ідеал в . Тоді для справедливо одне з наступних:

  • , що випливає з максимальності та з . Тоді . Те ж саме буде справедливо і для .

або

2) Якщо є власною підмножиною , тоді з максимальності  випливає, що . У такому разі з означення (2) маємо, що для  такі, що . Оскільки . Але для  Тому  Тоді маємо . Те ж саме виконуватиметься і для .

Підсумуємо: якщо – максимальний ідеал в , то для

Очевидно, що обидва включення не можуть бути виконані одночасно для жодного , адже в такому разі і не є власним ідеалом. Нехай множина таких , що для них , множина таких , для котрих виконується .

Тоді позначимо:

Зазначимо також, що оскільки – ідеал, то .

Як було вказано вище, для  є ідеалом в , тому – ідеал. Легко показати, що – максимальний ідеал. Справді, нехай ідеал, . Для маємо , адже включає усі підмножини без числа . . . Тоді . Оскільки відрізок є нейтральним елементом щодо операції перетину, ідеал співпадає з цілим кільцем і не є власним ідеалом.

Тоді усі максимальні ідеали кільця мають вигляд для деякого , що й треба було довести.

Нехай – множина усіх скінченних підмножин . Тоді – власний ідеал кільця . Справді, об’єднання (і, вочевидь, симетрична різниця) скінченних множин є скінченою множиною, перетин скінченої множини із будь-якою іншою також є скінченною множиною. Тоді, згідно з теоремою Круля, існує такий максимальний ідеал , що виконується .

Але це неможливо, адже згідно з вище доведеним . Але з означення бачимо, що для . Маємо протиріччя.

Підсумуємо: ми показали, що існує таке кільце із власним ідеалом , не включеним у жоден максимальний (для будь-якого максимального ідеалу виконується ). Відповідно, теорема Круля (а з нею і аксіома вибору) протирічить ZF. Теорему 1 доведено.

У кільці існують і інші власні ідеали, що покривають весь відрізок, тобто такі ідеали , що . Наприклад, множина усіх не більш ніж злічених підмножин . Ще одним прикладом буде ідеал, породжений множиною

Але, як було показано вище, такі ідеали не є максимальними і не входять у жоден максимальний у якості підмножини. Наприклад, до ідеалу породженого множиною можна додати множину  (а також усі скінченні об’єднання і перетини з елементами початкового ідеалу та їх підмножини). І так можна продовжувати нескінченну (та навіть незліченну) кількість разів, але отриманий новий ідеал, згідно з лемою 5, ніколи не буде максимальним.

Також очевидно, що за допомогою ідеалу можна збудувати факторкільце , що буде комутативним кільцем з одиницею, але не матиме жодного максимального ідеалу.

Покажемо, як виглядає множина ідеалів кільця , таких, що містять . Ця множина, впорядкована за включенням , що відповідає вимогам леми Цорна (кожна лінійно впорядкована підмножина  матиме верхню межу), але не має жодного максимального елементу (кожен елемент не є максимальним, що було доведено вище).

Отже, – множина усіх таких множин таких підмножин дійсних чисел відрізка , що для кожної з та кожної з усі підмножини також належать , усі скінченні об’єднання з також належать , множина усіх скінченних підмножин є підмножиною кожного з та весь відрізок не належить жодній з .

Запишемо формально:

, де .

Зауважимо, що є множиною у ZF, оскільки . Також очевидно, що не є порожньою, адже множина усіх скінченних підмножин є елементом .

Аксіома вибору часто піддавалася критиці через деякі її наслідки, такі як парадокс подвоєння кулі (Банаха–Тарського). У цій статті вперше показано, що аксіома вибору не тільки призводить до контрінтуїтивних наслідків, але й робить теорію множин Цермело–Френкеля суперечливою.


СПИСОК ВИКОРИСТАНИХ ДЖЕРЕЛ:

 

  • Moore, G. H. (2013) [1982]. Zermelo's axiom of choice: Its origins, development & influence. Dover Publications. ISBN 978-0-486-48841-7.

  • Kuratowski, K. & Mostowski, A. (1976), Set theory. With an introduction to descriptive set theory, vol. 86 (Second ed.), Studies in Logic and the Foundations of Mathematics, Amsterdam-New York-Oxford: North-Holland Publishing Co. ISBN 978-0720404708 

  • Krull, W. (1929) Idealtheorie in Ringen ohne Endlichkeitsbedingung. Math. Ann. 101, 729–744. https://doi.org/10.1007/BF01454872

  • Hodges, W. (1979), Krull implies Zorn, Journal of the London Mathematical Society (2), vol. 19; 285–287. https://londmathsoc.onlinelibrary.wiley.com/doi/abs/10.1112/jlms/s2-19.2.285


CONTRADICTIONS WITHIN ZERMELO–FRAENKEL SET THEORY WITH AXIOM OF CHOICE

KOLOS O.
UKRAINE

Abstarct.
By using a counterexample to the known equivalent of the axiom of choice (Krull’s theorem about maximal ideal existence) contradictions within Zermelo–Fraenkel set theory with axiom of choice was shown. Ring ideals set which satisfies the Zorn’s lemma conditions, but with no maximal element was built.


Keywords: axiom of choice; Zorn’s lemma; Krull’s theorem; set theory; maximal ideal; contradiction.

© Колос О.С., 2020

© Kolos O., 2020

 

This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License.

PUBLISHED : 14.06.2020