International scientific e-journal

ΛΌГOΣ. ONLINE

9 (May, 2020)

e-ISSN: 2663-4139
КВ №20521-13361Р

PHYSICS AND MATHEMATICS

UDC 621.316

EOI 10.11232/2663-4139.09.18

МОДЕЛЮВАННЯ  МАГНІТНИХ ПОЛІВ КОТУШОК ТА ЕНЕРГІЇ МІЖ НИМИ

ПЄРОВ О.Г.

 

УКРАЇНА


Анотація. На сьогоднішній день поширення електромобілів стає все поширенішим і глобальним. Завдяки впровадженню технології бездротової передачі енергії, більше не потрібно буде чекати годинами на зарядних станціях, доки зарядиться акумуляторна батарея електромобіля, адже тепер можна заряджати свій автомобіль просто запаркувавши його на місці стоянки біля офісу чи магазину, або стоянки в гаражі, чи навіть під час руху. На сьогоднішній день люди дуже добре знайомі з бездротовою передачею даних, аудіо та відеосигналів, тож чому не можна передати без дротів і електроенергію.

Ключові слова: моделювання, Comsol Multiphysics, магнітні полі.

  • Вибір програмного забезпечення

Comsol Multiphysics - програмне забезпечення, призначене для моделювання будь-яких фізичних процесів і вивчення різних фізичних явищ, їх взаємозв'язку з навколишнім середовищем і між ними.

Створення моделей, які описуються диференціальними рівняннями в часткових похідних, проектування складних пристроїв і систем - головне завдання програмного пакета Comsol Multiphysics. Всі обчислення в програмі реалізуються на методі скінченних елементів (МСЕ).[1]

Даний метод виник в результаті рішення задач космічної спрямованості радянськими вченими в 1936 році і згодом описаний такими вченими і інженерами, як Мелош, Клаф, Мартін, Тернер та ін. В основі методу лежать дві головні ідеї: розбиття досліджуваного об'єкта на кінцеве число елементів - дискретизація і кусково-елементна апроксимація досліджуваних функцій.

Досліджувана область або тіло (конструкція) розбивається на безліч кінцевих елементів, які можуть мати різну форму і розміри (рис.1). Результатом розбиття є сітка з меж кінцевих елементів.[2]

Рис.1 Фрагмент кінцево-елементної моделі

 

У кожному з цих елементів довільним способом вибирається вид апроксимуючої функції, наприклад поліном першого ступеня. Поза елементом значення цієї функції дорівнює нулю, в той час як в самому елементі (в вузлах) значення функцій є рішенням поставленого завдання і заздалегідь невідомі. Залежно від кількості невідомих значень у вузлах, складається система лінійних алгебраїчних рівнянь. [1]

 

  • Створення вихідної області та геометрії об'єктів

Постановка завдання дослідження зводиться до того, щоб отримати оптимальні параметри котушки для передачі енергії бездротовим шляхом з максимальною ефективністю на відстань, що не перевищує розміри кімнати. Передавальна котушка повинна мати такі розміри, щоб вона задовольняла умовам практичності і доцільності її установки.

У теоритичній частині було відзначено, що максимальна ефективність передачі енергії відбувається за умови резонансу зі слабким зв'язком між індуктивно пов'язаними котушками.

Таким чином, потрібно обчислити такі параметри: індуктивність і активний опір, залежні від частоти, і власну ємність котушки.

З метою спрощення розрахунків візьмемо котушку в формі одного кругового кільця радіусом R = 0,25 м виконаного з мідного дроту кругового перетину, що має радіус r = 5 мм (рис. 2).

Рис. 2 Геометрія котушки з мідного дроту

 

Наступним етапом потрібно задати область, в якій відбудеться розбиття кільця на кінцеві елементи. Задаємо сферу довільного радіуса, усередині якої знаходиться досліджуване кільце (рис. 3).

Рис. 3 Геометрична побудова моделі

 

Отримавши досліджувану область і об'єкт, потрібно створити сітку, яка використовується для дискретизації моделі при розрахунках методом кінцевих елементів. Модель розбивається на малі геометричні частини - в даному випадку розбивка відбувається на тетраедри (рис. 4).

Рис. 4 Створення сітки моделі: а - в системі одного кільця; б - система, що складається з двох кілець

 

  • Опис математичної моделі об'єкта дослідження

Для проведення розрахунку потрібно врахувати, що подача напруги на котушку від джерела живлення відбувається в високочастотному діапазоні, а отже, при подачі такої напруги на передавальну котушку, будуть протікати високочастотні струми таким чином, що щільність розподілу струму по перетину буде концентруватися поблизу поверхні котушки. Таке явище називається скін-ефектом і характеризує залежність опору і індуктивності від частоти.

Зробимо розрахунок щільності розподілу струму в поперечному перерізі провідника за допомогою системи рівнянь Максвелла, яка дозволяє отримати рівняння для векторного магнітного потенціалу А.

Рівняння для постійного струму, що зв'язує магнітну індукцію B і векторний магнітний потенціал A, описується виразом:

 , (1)

Рівняння для постійного струму, що зв'язує напруженість магнітного поля H і вектор щільності струму J, описується виразом:

 , (2)

 Сполучаючи вирази (4.1) і (4.2) отримуємо рівняння Пуассона для векторного потенціалу А через щільність струму J:

 , (3)

Для змінного струму, розв’язавши рівняння Гельмгольца щодо вираження (1) знаходимо такий вираз:

 , (3)

де, - кутова частота;

– питома електрична провідність провідника;

– діелектрична проникність речовини;

– диэлектрическая проницаемость в вакууме.

 

Перетворимо вираз (4.3) в компактну форму запису, що зв'язує щільність струму J і векторний магнітний потенціал А:

 , (4)

де, – магнітна проникність.

 

При роботі з виразом (4.4) можна використовувати наступну компактну форму рівняння:

 ,  (5)

де, V – напруга, що подається на котушку.

 

Умова для завдання граничного значення вектора магнітного потенціалу на зовнішньому кордоні області моделі описується:

, (6)

Після визначення розподілу величини магнітного потенціалу необхідно розрахувати щільність струму і струм у витку дроту за такими виразами:

,  (7)

,  (8)

Магнітна енергія обчислюється згідно з виразом:

 ,  (9)

З виразу (4.8) при відомому струмі (4.7) можна визначити індуктивність за допомогою співвідношення:

  ,                                                       (10)

Опір провідника при відомому напрузі і струмі визначається за допомогою наступного виразу:

,                                                     (11)

Щоб провести розрахунок наведених вище рівнянь, використовуємо програмно-математичний пакет Comsol Multiphysics, що як і було вище відзначено, працює за принципом методу скінченних елементів. Результати розрахунків представлені на рис. 5-8.

Таким чином, знаючи розподіл магнітного поля в котушці, можна обчислити індуктивність і активний опір в залежності від частоти джерела живлення.

 

Рис. 5 Розподіл вектора магнітного потенціалу A системи однієї котушки

Рис. 6 Розподіл силових ліній магнітного потенціалу AФ

Рис. 7 Поле розподілу вектора магнітного потенціалу A по поверхні котушки

Рис. 8 Розподіл поля магнітного потоку у вигляді нормованих векторів, що вказують напрямок і інтенсивність поля у вигляді ізоліній

 

Внаслідок скін-ефекту велика частина значення струму протікає в поверхневому шарі котушки, таким чином, значна частина поперечного перерізу котушки лишається невикористаною. Результати моделювання розподілу щільності струму J [A/м2] і енергії в поперечному перерізі котушки r = 5 см і R = 0,25 м наведені на рис. 9-11.

Рис. 9 Розподіл щільності струму і енергії в поперечному перерізі провідника при частоті f = 100 Гц

Рис. 10 Розподіл щільності енергії в поперечному перерізі провідника при частоті f = 1000 Гц

Рис. 11 Розподіл щільності струму і енергії в поперечному перерізі провідника при частоті f = 500 Гц

 

  • Розрахунок індуктивності і активного опору котушки

На підставі вищенаведених результатів моделювання магнітного поля побудуємо частотні залежності індуктивності і активного опору котушки. Результати розрахунків представлені на рис. 12-13.

Як видно на рис. 12 індуктивність котушки в області високих частот різко падає і встановлюється на постійній величині, тобто L залишається без змін в області високих частот. Це відбувається внаслідок насичення матеріалу досліджуваної котушки в області високих частот. Отриманий результат індуктивності в області високих частот дорівнює L = 1,238 мкГн

Рис. 12 Розрахунок індуктивності котушки в області високих частот

 

Для оцінки отриманих результатів проводимо розрахунок індуктивності для кругового кільця перетину.

Індуктивність кільця в області високих частот при R >> r обчислюється за формулою:

,  (12)

Тоді значення індуктивності в області високих частот одне:

Порівняємо значення індуктивності, розрахованої аналітично зі  значенням отриманим з Comsol Multiphysics:

Lексп.=1,254 мкГн.

Lанал.=1,238 мкГн.

Відносна похибка в розрахунках значення індуктивності становить:

,

На підставі розрахованої індуктивності робимо висновок, що розрахунки проведені вірно з мінімальною похибкою. На рис. 13 представлена залежність активного опору котушки від частоти.

 

Рис. 13 Розрахунок активного опору котушки в області високих частот

 

5. Розрахунок власної ємності котушки

Власна ємність провідника у формі кругового кільця розраховується відповідно до виразу:

, (13)

де, – діелектрична проникність повітря.

Визначимо ємність розташованої в повітрі котушки в формі кругового кільця радіусом R = 0,25 м і радіусом поперечного перерізу r = 0,005 м, використовуючи формулу (4.13):

Ґ

 

6. Моделювання електромагнітного поля для котушок різної конфігурації

У зв'язку з тим, що досліджується методика бездротової передачі енергії, потрібно встановити факт виникнення максимуму переданої потужності при резонансі ланцюга в приймаючій котушці, тому в завданні розглядаються дві системи котушок: одна з них складається з двох кілець, в якої на передавальне кільце подається напруга U = 1 В, інша система з шести кілець, в якій передавальної котушкою є три кільця (рис. 14).

Послідовність моделювання магнітних полів, розподіл щільності струму в перетинах провідника і обчислення параметрів котушки робимо в тій же послідовності, що і в попередних розділах.

 

Рис. 14 Система двох спіралеподібних котушок

 

Моделювання і розрахунки проводимо в програмі Comsol Multiphysics, в основі якого лежить рівняння Гельмгольца для змінного струму

Результати моделювання для обох випадків наведені на рис. 15-18.

Рис. 15 Нормальна складова вектора напруженості E в вигляді ізоліній для системи, що складається з двох кілець

Рис. 16 Нормальна складова вектора напруженості E в вигляді ізоліній для системи, що складається з шести кілець

Рис. 17 Поле розподілу вектора електричної напруженості E по поверхні котушки

Рис. 18 Поле розподілу вектора магнітної напруженості H по поверхні котушки

 

7. Розрахунок потужності в приймальній котушці спіралевидної форми

На підставі отриманих результатів (рис. 15-18) потрібно провести обчислення енергії W, що надходить з передавальної котушки на приймальну для спіралеподібної системи котушок. Обчислення проводимо в програмі Comsol Multiphysics і зводимо в табл. 4.1. У табл. представлений діапазон частот від 100 кГц до 3 МГц з кроком 100 кГц з метою зменшення обсягу записів табличних даних.

 

Таблиця 1. Результати розрахунку енергії в приймальній котушці в залежності від частоти

Так як потужність це зміна енергії в часі, то вираз потужності, що надходить на приймальну котушку, опишеться наступним виразом:

,  (14)

На підставі (14) побудуємо графік залежності енергії та потужності від частоти (рис. 19-20).

Рис. 19 Графік залежності енергії, що надходить в приймальну котушку від частоти

Рис. 20 Графік залежності потужності в приймальнікотушці від частоти

 

За графіком (рис. 20) залежності потужності від частоти, що надходить в приймальну котушку, визначимо на яке значення частоти припадає пік потужності, тобто резонансну частоту і порівняємо її з раніше отриманою. Результат розрахунку наведемо у вигляді табл. 2.

 

Таблиця 2. Результати розрахунку максимуму потужності

8. Висновки

Проведено моделювання магнітного поля в двох котушках та передача енергії між ними в програмному пакеті Comsol Multiphysics.

Знаючи розподіл вектора магнітного потенціалу A, за рівнянням Гельмгольца складено алгоритм для обчислення індуктивності і активного опору котушок будь-якої конфігурації. З метою отримання більш точних розрахунків було взято до роботи різні геометрії котушок, що складаються з двох та шести кілець. В процесі проектування котушок більш складної конфігурації процес розрахунку параметрів котушки сильно ускладнюється, тому що вимагає вирішення складних рівнянь.

При розрахунку параметрів котушок враховувався вплив скін-ефекту (рис. 19 - 20), де показано, що в області НЧ щільність струму в поперечному перерізі зосереджена не тільки на поверхні котушки, а й частково в центрі котушки, в той час як в області високих частот тільки на поверхні котушки, що обумовлює такі умови, при яких більша частина поперечного перерізу котушки лишається невикористаною.


СПИСОК ВИКОРИСТАНИХ ДЖЕРЕЛ:

 

  • Сегерлинд Л. Применение метода конечных элементов. М.: Мир, 1979. – 393

  • Введение в Comsol Multiphysics 5.2. [Електронний ресурс]. Режим доступу до ресурсу: https://www.comsol.ru/shared/downloads/IntroductionToCOMSOLMultiphysics_5.2_ru.pdf


SIMULATION OF MAGNETIC FIELDS OF COILS AND ENERGY BETWEEN THEM

PIEROV O.
UKRAINE

Abstract.
Today, the spread of electric vehicles is becoming more widespread and global. Thanks to the introduction of wireless energy transfer technology, you will no longer have to wait for hours at charging stations until the battery of the electric car is charged, because now you can charge your car simply by parking it near the office or shop, or parking in the garage, or even while moving. Today, people are very familiar with wireless data, audio and video signals, so why not transmit without wires and electricity.


Keywords: simulation, Comsol Multiphysics, magnetic fields.

© Пєров О.Г., 2020

© Pierov O., 2020

 

This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License.

PUBLISHED : 19.05.2020